Die Ableitungsfunktion

- Zeichnerische Bestimmung, H-Methode, einfache Ableitungsregeln

/ Zeichnerische Bestimmung

Im Bild (links) ist der Graph von f dargestellt. Ordene jedem der Punkte A-F eine Steigung zu, indem du Tangenten anlegst und denen mit Hilfe eines Steigungsdreiecks eine Steigung zuordnest (Bild rechts).


Nun ordne die Steigung (als y-Wert) den x-Werten zu und trage diese im Koordinatensystem ein

 

Merke:

- Die Funktion oben besitzt in jedem Punkt des Graphen eine Steigung. Ordnet man nun jeder x-Stelle die dortige Steigung f'(x) zu, so erhält man die Ableitungsfunktion f' (Bild)

- An der Ableitungsfunktion f' ist erkennbar, wann die Funktion f steigt/ fällt:

-> f' ist positiv, wenn f steigt

-> f' ist negativ, wenn f fällt

- Die Nullstellen von f'(x) geben die Extremalpunkte von f(x) an


/ H-Methode zur rechnerischen Bestimmung

 

f(x) = x^2

 

Ableitung

------------->

 

f'(x) = ?


 

Herausfinden durch den Differentialquotient indem man lim h-> 0 streben lässt:

 

1. Wird f in die Formel eingesetzt

 

 

2. Binomische Formel auflösen

 

 

 

 

 

3. h ausklammern

 

 

4. h wird gekürzt

 

 

5. h läuft gegen 0, somit bekommen wir als Ergebnis f'(x) = 2x0

/ Einfache Ableitungsregeln

Da das herausfinden der Ableitungsfunktion f'(x) lange dauert, gibt es die Ableitungsregeln, welche dir das ganze Vereinfachen.

 

1. Potenzregel:

- Der Exponent der Potenz wird um 1 verringert und die Potenz mit dem alten Exponenten multipliziert

 

2. Faktorregel:

- Liegt eine Funktion mit einem Faktor 'a' vor, so bleibt dieser bestehen und wird mit der Ableitung der Funktion multipliziert

 

3. Summenregel:

- Eine Summe wird abgeleitet, indem jeder einzelne Summand für sich abgeleitet wird und die Ableitungen zum Schluss addiert werden

 

4. Konstantenregel:

- Eine konstante Funktion hat überall die Steigung null. Somit ist ihre Ableitungsfunktion f'(x) = 0

Die komplexen Ableitungsfunktionen findest du unter mehr erfahren.