Andere Ableitungsregeln

- Wdh. einfachen Ableitungsregeln, Kettenregel, Produktregel (auch bei mehr als 2 Faktoren), Trigonometrische Funktionen

/ Wiederholung der einfachen Regeln

Potenzregel

Faktorregel

Summenregel

Konstantenregel


/ Kettenregel

Merke: Liegt eine verkettete Funktion k(x) = f(g(x)) mit der inneren Fkt. 'g' und der äußeren Funktion 'f' vor, so lautet die Ableitung k'(x) = f'(g(x)) * g' 

Bsp1: k(x) = (2x + 1)^3          innere Fkt: g(x) = 2x+1    äußere Fkt: f(x) = x^3

         k'(x) = 3(2x + 1)^2 * 2

         k'(x) = 6(2x + 1)^2

 

Bsp2: k(x) = √4 - 2x             innere Fkt: g(x) = 4 - 2x   äußere Fkt: f(x) = x^1/2

         k'(x) = 1/2 (4 - 2x)^1/2 *2

         k'(x) = (4 - 2x)^1/2

/ Produktregel

Liegen bei der abzuleitenden Funktion 2 Produkte vor h(x) = f(x) * g(x)  (welche beide Funktionen sind also x enthalten), so muss die Produktregel angewendet werden:

h'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

 

Bsp:

f(x) = x^3 * x^2

f'(x) = 3x^2 * x^2 + x^3 * 2x

f'(x) = 5x^4

 

Aber was wenn mehr als 2 Faktoren vorliegen? 

Auch hier wird mit der Produktregel vorgegangen:

/ Trigonom. Funktionen

Trigonometrische Funktionen werden wie folgt abgeleitet

f(x) = sin x

 

f(x) = cos x

 

f(x) = tan x

 

f(x) = cot x

f'(x) = cos x

 

f'(x) = - sin x

 

f'(x) = 1 + (tan x)^2 = 1/(cos x)^2

 

f'(x) = -1 -(cot x)^2 = - 1/(sin x)^2