Anwendungen der Ableitungsfunktion

- Extremalstellen/ Wendepunkte, Steigungsproblem, Schnittwinkelproblem, Tangentenproblem, Berührproblem

/ Extrema und Wendepunkte

Extremalstellen:

1. Schritt:

- f'(x) = 0 und nach x auflösen

 

2. Schritt:

- Die Lösungen xE werden getestet, indem man den/ die x-Werte jeweils in f''(x) einsetzt:

-> f''(x) < 0      Hochpunkt

-> f''(x) > 0      Tiefpunkt

-> f''(x) = 0      keine Aussage

 

3. Schritt (falls nach Punkt gefragt):

- y-Koordinate berechnen:

-> der/ die x-Wert(e) von Schritt 1 werden in f(x) eingesetzt 

-> man schreibt HP ( x / y ) bzw. TP ( x / y)

 

Wendepunkte:

1. Schritt:

- f''(x) = 0 nach x auflösen

 

2. Schritt:

- Die Lösungen xE werden getestet, indem man den/ die x-Werte jeweils in f'''(x) einsetzt: 

-> f'''(x) < 0      Links-Rechts-Wendepunkt

-> f'''(x) > 0      Rechts-Links-Wendepunkt

-> f'''(x) = 0      keine Aussage

 

3. Schritt (falls nach Punkt gefragt):

- y-Koordinate berechnen:

-> der x-Wert von Schritt 1 wird in f(x) eingesetzt 

-> man schreibt L-R-WP ( x / y ) bzw. R-L-WP ( x / y)

/ Steigungsproblem

Um den Steigungswinkel an der Stelle x zu berechnen:

 

1. Schritt: Ableitung f'(x) von f(x) bilden

2. Schritt: Steigung an x berechnen -> x-Wert in f'(x) einsetzen

3. Schritt: Steigungswinkel berechnen -> tanα = m                       | m ist Steigung die in Schritt 2 berechnet wurde

-> α = ...

 

Bsp: f(x)= 1/2x^2 - 2x, Steigung an Stelle x = 3

1: f'(x) = x - 2

2: f'(3) = 3 - 2 = 1

3: tanα = 1

-> α = 45°

/ Schnittwinkelproblem

Um den Schnittwinkel von 2 Funktionen (f(x) und g(x)) zu berechnen

 

1. Schritt: 1. Ableitung beider Funktionen bilden (f'(x) und g'(x))

2. Schritt: Beide Funktion gleich setzen (f(x) = g(x)) und nach x auflösen -> Schnittpunkt

3. Schritt: Steigung beider berechnen -> x-Wert von 2. in beide Funktionen einsetzen

4. Schritt: Steigungswinkel berechnen von beiden

5. Schritt: Winkel γ= 180° - (α - β)

6. Schritt: γ ist der Schnittwinkel, wenn kleiner als 90° ist

 

/ Tangentenproblem

Um die Funktionsgleichung einer Tangente an der Stelle P(x / y) zu berechnen

 

1. Schritt: Ableitung f'(x) von f(x) bilden

2. Schritt: Steigung m an der Stelle x = ... berechnen indem x-Wert in f'(x) eingesetzt wird

3. Schritt: n Berechnen

                  t(x) = mx + n                       | x,y-Wert vom Punkt einsetzten und Steigung m vom 2.Schritt einfügen, nach n auflösen

                     n = ...

4. Schritt: Tangentengleichung ausstellen (m, n in t(x) = mx + n einsetzen)

 

Bsp: f(x) = 1/2x^2 , P(1 / 0,5)

1. f'(x) = x

2. f'(1) = 1     -> m = 1

3. t(x) = mx + n

    0,5 = 1 * 1 + n

       n = -0,5

4. t(x) = 1x - 0,5

/ Berührproblem

- Um den Punkt anzugeben, wo sich 2 Graphen berühren

- Um die Berührtangente zu berechnen

 

1.1. Schritt: Gemeinsamen Punkt P berechnen

-> f(x) und g(x) gleichsetzten f(x) = g(x) und nach x auflösen

-> x-Wert in f(x) einsetzen für die y-Koordinate

P (x / y)      -> das ist der Berührpunkt

 

1.2. Schritt: Ableitung beider Funktionen bilden -> f'(x) und g'(x)

2. Schritt: Steigung an der x-Stelle berechnen

-> x-Wert von P aus 1.1. in f'(x) und g'(x) einsetzen 

-> Wenn f'(x) = g(x) berühren sich die Graphen im Punkt (x / y)

 

3. Falls gefragt die Tangentengleichung aufstellen, wie beim Tangentenproblem

 

Bsp: f(x) = x^2 + 2      g(x) = 4x - x^2

1.1 f(x) = g(x)

           x^2 + 2 = 4x - x^2                       | -4x + x^2

   2x^2 - 4x +2 = 0                                  | :2

     x^2 - 2x +1 = 0                                  | p,q-Formel

                   x1 = 1

 

y-Koordinate: x1 in f(x)

       f(1) = 1^2 + 2

       f(1) = 3                                           -> P (1 / 3)

 

1.2. f'(x) = 2x       g'(x) = 4 - 2x

2.   f'(1) = 2          g'(1) = 2

-> Da f'(1) = g'(x) berühren sich die Graphen im Punkt P (1 / 3)

 

3. t(x) = 2x + 1