/ Binomialverteilung

Merke:
Um die Binomialverteilung anwenden zu können, muss ein Bernoulli-Experiment gegeben sein. Das heißt, es dürfen nur 2 Ausgänge möglich sein (z.B. Kopf und Zahl beim Münzwurf, etc.). Es muss mit 'Zurücklegen' funktionieren (Die Wahrscheinlichkeit darf sich nicht im Laufe des Experimentes verändern), aber die Wahrscheinlichkeit muss nicht 50-50 sein.

Kennwörter sind: genau; höchstens; mindestens; mehr als__, aber weniger als__.

Die Formel lautet:

 X gibt hierbei z.B. an, wie viele Defekte vorhanden sind.

Beispiel:
Bei einer Produktion werden 100 Schrauben von der Tagesproduktion heraus genommen und untersucht. Die Wahrscheinlichkeit für eine defekte liegt bei 5 Prozent.

Wahrscheinlichkeitsverteilung:

Der Erwartungswert ist hier gelb markiert worden. Tipp: 5% von 100 = 5 so lässt sich leicht dieser Wert herausfinden, indem die Wahrscheinlichkeit durch die Gesamtanzahl der Überprüften gerechnet wird.

Graphische Darstellung:

Auch hier wurde der Erwartungswert (also das Ergebnis, was am wahrscheinlichsten ist) gebe eingefärbt.


Typische Fragestellung:

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für:

 

1) genau 7 defekte Schrauben

 

 

Der gelb markierte Bereich ist für unsere Rechnung wichtig

Erklärung:

- Zuerst schreiben wir P(x = 7), da dies den markierten Bereich widerspiegelt.

- Es wird noch ein Zwischenschritt eingefügt B(...) und in diese Klammer werden die gegebenen Werte geschrieben (Gesamtanzahl 100; die Wahrscheinlichkeit 0,05 und die Zahl 7  aus der ersten Klammer)

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit für genau 7 defekte liegt bei 11%.


2) höchstens 7 defekte Schrauben

 

Der gelb markierte Bereich ist für unsere Rechnung wichtig

Erklärung:

- Zuerst schreiben wir P(x ≤ 7), da dies den markierten Bereich widerspiegelt.

- Beim Zwischenschritt steht nun ein F statt dem B, da hier ein dieses ≤ Vergleichszeichen steht.

- Das Summenzeichen zeigt an, dass wir alle ganzen Zahlen von 0 bis 7 in die Formel einsetzen und die Ergebnisse zusammen addieren müssten (oder man ließt die Ergebnisse aus Wertetafeln ab).

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit liegt bei 88%.


3) mindestens 7 defekte Schrauben

 

Der gelb markierte Bereich ist für unsere Rechnung wichtig

Erklärung:

Unser P(x ≥ 7) können wir so umschreiben 1 - P(x ≤ 6). Das hilft uns, wenn wir die Lösung aus den Wertetafeln ablesen müssen (diese werden im Abitur im Anhang zu finden sein, um den Schüler diese Rechnungen zu ersparen)


So müsst ihr die Rechnung jedoch weiterschreiten.

 

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit liegt bei 23,4%.


4) mehr als 2, aber weniger als 10 defekte Schrauben

 

Der gelb markierte Bereich ist für unsere Rechnung wichtig

Erklärung:

Unser P(3 ≥ x ≥ 9) können wir so umschreiben P(x ≤ 9) - P(x ≤ 2). Achtung: Jetzt wurde aus der 3 eine 2, da sonst der Kontext nicht mehr stimmt.

So müsst ihr die Rechnung jedoch weiterschreiten.

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit liegt bei 94%.


4) Wie viele Schrauben müssen mindestens untersucht werden, um mit mindestens 95% Wahrscheinlichkeit mindestens eine defekte Schrauben zu finden

 

Diese Ungleichung ergibt sich aus der Aufgabenstellung

 

P(x ≥ 1) umschreiben

 

Multiplikation mit negativen führt dazu, dass sich das Ungleichheitszeichen ≥ umkehrt (ab jetzt ≤)

 

 

n über 0 ist immer 1 und wenn der Exponent 0 ist so ist der dazugehörige Therm auch 1

 

 

 

 

 

n muss isoliert werden

 

Ungleichheitszeichen hat sich erneut umgekehrt, da log(0,95) negativ ist

 

 

Das ist unser Ergebnis

 

Antwort: Es müssen mindestens 59 Schrauben untersucht werden. (58,4 aufwerten, da es nur ganze Schrauben gibt)