Ganzrationale Funktionen

- Einfache Symmetrie, Verhalten im Unendlichen, Nullstellen

/ Einfache Symmetrie

Hinweis:

Für den Symmetrienachweis berechnet man f(-x)

      -> f(-x) = f(x)      symmetrisch zur y-Achse

      -> f(-x) = -f(x)    punktsymmetrisch zum Uhrsprung

 

Bsp 1:   f(x) = 5x^4 - 27x^2 + 56

Test:     f(-x)= 5(-x)^4 - 27(-1)^2 + 56                 /Vereinfachen (bei gerade Exponenten fällt Minus weg)       

               f(-x)= 5x^4 - 27x^2 +56                             

             f(-x)= f(x)

            -> Graph ist symmetrisch zur y-Achse

 

Bsp 2:   f(x) = x^3 - 12x

Test:     f(-x)= (-x)^3 - 12(-x)                              /bei ungeraden Exponenten bleibt das Minus 

             f(-x)= -f(x)

            -> Graph ist symmetrisch zum Ursprung

 

Vereinfachung:

- Besitzt der Graph von f(x) nur gerade Exponenten, dann ist f symmetrisch zur y-Achse.

- Besitzt der Graph von f(x) nur ungerade Exponenten, dann ist f punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Besitzt der Graph von f(x) gerade UND ungerade Exponenten, so liegt keine Symmetrie vor. 

/ Verhalten im Unendlichen

Hinweis:

- Das Verhalten einer tanzrationalen Funktion f für |x| -> ∞ wird nur durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt.

-> Wird bei der Funktion NUR dieser Summand betrachtet und als g(x) geschrieben.

 

Bsp 1:   f(x) = 1/4 x^4 - 2/9 x^2 + 7x

            g(x) = 1/4 x^4

 

Prüfen des Verhaltens:

- Es gibt nur folgende 4 Möglichkeiten

- Denkt sich g(x) = an x^n                                    / 'an' ist der Faktor vor dem 'x' und 'n' der Exponent

Möglichkeit 1:

- an > 0 und n ist positiv und gerade

- Für x -> ± ∞  gilt  f(x) -> + ∞

Möglichkeit 2:

- an < 0 und n ist positiv und gerade

- Für x -> ± ∞  gilt  f(x) -> - ∞



Möglichkeit 3:

- an > 0 und n ist positiv und ungerade

- Für x -> + ∞  gilt  f(x) -> + ∞

- Für x -> - ∞  gilt  f(x) -> - ∞

Möglichkeit 4:

- an < 0 und n ist positiv und ungerade

- Für x -> + ∞  gilt  f(x) -> - ∞

- Für x -> - ∞  gilt  f(x) -> + ∞


/ Nullstellen

Hinweis:

- Nullstelle ist eine Zahl mit Funktionswert 0

- Zur Berechnung dient die Gleichung f(x) = 0

- Der höchste Exponent der Funktion f(x) zeigt die MAXIMALE Anzahl von Nullstellen auf

 

Berechnung:

Fall 1:

- Bei einen linearen Exponenten, wird die Gleichung Null gesetzt und nach 'x' aufgelöst 

Bsp: f(x) = 3 + x

           0 = 3 + x                    |-3

           x = -3

 

Fall 2:

- Bei quadratischen Exponent (n = 2), wird die p,q-Formel angewendet.

Achtung: Vor dem 'x' darf KEIN Faktor stehen, sollte einer vorhanden sein, rechen durch diesen Faktor bevor du p,q-Formel anwendest

Bsp 1: f(x) = x^2 + x - 2                                            |p = 1, q = -2

        x1, x2 = -p/2 ± √(p/2)^2 - q                             / p, q einsetzen und ausrechnen

              x1= -2

              x2= 1

 

Bsp 2: f(x) = 1/2 x^2 + 2x -4                                    | :1/2 

           f(x) = x^2 + x - 2

        x1, x2 = ...

 

Fall 3:

- Bei Funktionen, bei den der Exponent größer als 2 ist wird die Polynomdivision angewendet

- Schritt 1: Durch probieren die erste Nullstelle herausfinden, indem man x-Werte 

Tipp: der x-Wert ist immer ein Teiler, der Zahl die ohne ein x steht

- Schritt 2: Funktion durch (x ± die erste Nullstelle) rechnen wie schriftlichen Division

-> ± bedeutet, wenn Nullstelle positiv ist, schreibt man (x - Nullstelle) und wenn negativ ist (x + Nullstelle)

- Schritt 3: p,q Formel (siehe Fall 2)

           

 Bsp: f(x) = x^3 + x^2 - 10x +8

 

Schritt 1: Nullstelle durch probieren : x1 = 2     / 2 ist ein Teiler der 8 

 

Schritt 2: (x^3 + x^2 - 10x +8) : (x - 2) =

                 Schriftliche Division...

                (x^3 + x^2 - 10x +8) : (x - 2) = x^2 + 3x -4

               -(x^3 - 2x^2)

                           3x^2 -10x

                         -(3x^2 - 6x)

                                    - 4x + 8

                                  -(- 4x + 8)

                                               0 

 

                x^2 + 3x -4 = 0                                      |p = 3, q = -4

    x1, x2 = -p/2 ± √(p/2)^2 - q                             p, q einsetzen und ausrechnen