Integralberechnung

- unbestimmtes Integral, bestimmtes Integral, 

/ Unbestimmtes Integral

Merke:

Wenn man zu einer Funktion f(x) die Stammfunktion F(x) ermittelt, so existieren unendlich viele dieser Stammfunktionen, welche sich nur durch die Konstante C voneinander unterscheiden.

 

Bsp.:

Funktion f(x) = 3x^2 + 2

Menge Stammfkt. F(x) = x^3 + 2x + C

 

Die Menge aller Stammfunktionen zu einer Funktion f(x) heißt unbestimmtes Integral zu der Funktion f(x). Man schreibt dies folgendermaßen: ∫ f(x)dx = F(x) + C

/ Bestimmtes Integral

Um eine Fläche A unter dem Funktionsgraphen f(x) in dem Intervall [a , b] zu berechnen, setzen wir dieses Intervall als Integrationsgrenze in F(x). 

 

Erklärung (mathematisch): Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Die Funktion f sei eine auf dem Intervall [a , b] differenzierbare Funktion. F sei eine Stammfunktion von f. Somit lässt sich das bestimmte Integral von f in den Integrationsgrenzen von a bis b als Differenz F(b) - F(a) berechnen.

Es gilt:

                           = F(b) - F(a)

Das bedeutet, man setzt die obere Integrationsgrenze a als x in F(x) ein und erhält somit F(b). Dann rechnet man dies minus F(a), wo die untere Integrationsgrenze als x eingesetzt wurde. Das C wird in der Rechnung vernachlässigt. Das Ergebnis wird zunächst in FE (Flächeneinheiten) und als Betrag angegeben A = |F|.

/ Flächenberechnung

Hinweis: Um zwischen Fall 1 und 2 zu unterscheiden muss zunächst f(x) auf Nullstellen getestet werden, indem f(x) = 0 berechnet wird. Gibt es keine Nullstellen/ diese legen nicht im Intervall, so gilt Fall 1. Sollten jedoch Nullstellen vorhanden sein UND im Intervall [a , b] liegen, so muss Fall 2 angewendet werden.

Fall 1: Fläche unter der Kurve und oberhalb der x-Achse

Es soll eine Berechnung der Fläche A zwischen der Kurve der Funktion f(x) und der x-Achse im Intervall [a , b] erfolgen. Außerdem hat die Funktion f(x) keine Nullstellen im Intervall [a , b].

 

Es gilt zur Flächenberechnung folgendes:

                                = F(b) - F(a)

Fall 2: Nullstellen

Es soll eine Berechnung der Fläche A zwischen der Kurve der Funktion f(x) und der x-Achse im Intervall [a , b] erfolgen. Dabei liegt f(x) im Intervall aber- und unterhalb der x-Achse, also besitzt eine Nullstelle.

Um die Fläche nun auszurechnen, werden die Integrationsgrenzen verändert: Man berechnet zunächst das Integral von [a , x1] also bis zur Nullstelle und dann wird ein zweites Integral von [x1 , b] berechnet. Von beiden Ergebnissen wird der Betrag gezogen und sie werden zusammen addiert. Man erhält AGes.

 

Es gilt zur Flächenberechnung folgendes:

 

Hinweis: Existieren mehr als 1 Nullstelle in dem zu betrachtendem Intervall, so integriert man von a bis zur ersten Nullstelle. Dann von der ersten Nullstelle bis zur zweiten usw. und von der letzten Nullstelle bis b.

Fläche zwischen 2 Funktionen

Es soll eine Berechnung der Fläche A zwischen 2 Funktionen erfolgen.

- Dafür setzt man die Funktionen gleich: f(x) = g(x)

- Nun wird nach Null aufgelöst und was man nun erhält ist die Differenzfunktion h(x) - die ist für später noch wichtig

- Da wir kein Intervall normalerweise vorgegeben haben, müssen wir uns eins suchen. Deshalb wird die Differenzfunktion nach x aufgelöst. Diese 2 x-Werte die wir im einfachstem Fall erhalten sind unser Intervall

- Jetzt haben wir unser Intervall, aber keine Stammfunktion. Man integriert (leitet auf) die Differenzfunktion und erhält ein H(x)

-> Nun kann man die Fläche berechnen, wie wir oben unter Fall 1 gelernt haben

 

Hinweis: Durch Bildung der Differenzfunktion, muss nicht darauf geachtet werden, ob die Funktion Nullstellen besitzt. Man kann die Berechnung mit Fall 1 durchführen.