Kurvendiskussion von Kurvenscharen

Bei einer Kurvenschar ist ein Parameter a vorhanden. Die Kurvendiskussion funktioniert jedoch immer noch so wie bei Funktionen ohne Parameter. Jedoch liegen alle Extrem und Wendepunkte auf einer Funktion (Ortskurve). Das folgende Beispiel wird dies verdeutlichen:

 

fa(x) = 3x^2 - 3/a x^3          a ≠ 0

 

1. Nullstellen: fa(x) = 0

        3x^2 - 3/a x^3 = 0              | Ausklammern

       3x^2 (1 - 1/a x) = 0

                            x1 = 0

                           x2 = a

 

2. Extrempunkte:

      fa'(x) = 6x - 9/a x^2 = 0

                 3x (2 - 3/a x) = 0

                                   x1 = 0

                                  x2 = 2/3 a        | denn 2 - 3/a x = 0        | -2     | *(- a/3) 

                                                                                  x = 2/3 a

 

     fa''(x) = 6 - 18/a x

    fa''(x1) = 6 - 18/a * 0 = 6               > 0   -> Tiefpunkt

   fa''(x2) = 6 - 18/a * 2/3 a = -6        < 0   -> Hochpunkt

 

      fa(x1) = 3* 0^2 - 3/a * 0^3 = 0                                    Tiefpunkt    TP (0 / 0)

      fa(x2) = 3* (2/3 a)^2 - 3/a * (2/3 a)^3 = 4/9 a^2       Hochpunkt  HP (2/3 a / 4/9 a^2)

 

3. Wendepunkt:

     fa''(x) = 6 - 18/a x = 0

            x = 6 * a/18 = a/3 = 1/3 a

 

    fa'''(x) = - 18/a    

    fa'''(x) < 0 für a > 0  -> L-R-WP

    fa'''(x) > 0 für a < 0  -> R-L-WP

 

      fa(x) = 3 * (1/3 a)^2 - 3/a * (1/3 a)^3 = 1/3 a^2 - 1/9 a^2 = 2/9 a^2

 

     für a > 0   L-R-WP (1/3 a / 2/9 a^2)

     für a < 0   R-L-WP (1/3 a / 2/9 a^2)

 

4. Ortskurve berechnen am Beispiel vom Hochpunkt (2/3 a / 4/9 a^2)

    x = 2/3 a           | : 2/3

    a = 3/2 x            

    y =  4/9 a^2      | a hier einsetzen

    y = 4/9 * (3/2 x)^2

    y = f()x = x^2