Logarithmusfunktion

- Grundwissen, Anwendungen

/ Grundwissen

Zuerst sollten wir e^x und ln(x) graphisch (z.B. mit geogebra) verglichen um ein besseres Verständnis zu bekommen:

 

Folgendes wird somit deutlich:

 

1. ln(x) ist die gespiegelte e^x Funktion an der Winkelhalbierenden h(x)

 

2. für die Logarithmusfunktion ln(x) gilt

          D = IR +          | alle positiven reellen Zahlen

          W = IR            | alle reelle Zahlen können herauskommen

 


 

Nun werden wir ein Rechenbeispiel durchführen:

      e^x = 1    | ln                                  ln(x) = 1    | e()

ln(e^x) = ln(1)                                e^(ln(x)) = e^1

          x = ln(1)             <->                       x = e^1

 

Merke:

e() ist die Gegenoperation von ln und umgekehrt. 

 

Anwendungsbeispiel: Berechne die Nullstellen von fa(x) = ln (ax^2 +1)       a > 0

 

fa(x) = ln (ax^2 + 1) = 0        | e()

                  ax^2 + 1 = e^0    | -1

                       ax^2 = 0         | :a

                         x^2 = 0         | √

                             x = 0

/ Anwendungen

Wie wir nun aus dem Grundwissen gelernt haben ist, dass e() die Gegenoperation von ln ist und umgekehrt. Dieses Wissen kann man nun im folgenden Beispiel anwenden.

 

Anwendungsbeispiel: Berechne die Nullstellen von fa(x) = ln (ax^2 +1)       a > 0

 

fa(x) = ln (ax^2 + 1) = 0        | e()

                  ax^2 + 1 = e^0    | -1

                       ax^2 = 0         | :a

                         x^2 = 0         | √

 

                             x = 0