Rekonstruktion von Funktionen

Tabelle für die Rekonstruktion von Funktionen

Funktionswert y0

f(x0) = y0

 

Nullstelle

f(x0) = 0

Extremalstelle

f'(x0) = 0

Wendestelle

f''(x0) = 0

Sattelpunkt

f'(x0) = 0

f''(x0) = 0

Berührungspunkt mit g

f(x0) = g(x0)

f'(x0) = g'(x0


Bsp: Gesucht wird die Funktion f, sie ist eine quadratische Parabel und hat folgende Merkmale:

      1. Nullstelle bei x = 4

      2. Extrema bei x = 2

      3. Verläuft durch Punkt P (3 / -1,5)

 

1. Schritt: Ansatz für die Gleichung f

       f(x) = ax^2 + bx + c

      f'(x) = 2ax + b

 

2. Schritt: Eigenschaften

(1) Nullstelle x = 4

(2) Extremum x = 2

(3) Punkt P (3 / -1,5)

 

3. Schritt: Aufstellen eines Gleichungssystems (siehe dafür bei der Tabelle oben nach!)

(1) f(4) = 0                   -> I: 16a + 4b + c = 0

(2) f'(2) = 0                 -> II:          4a + b = 0     

(3) f(3) = - 1,5             -> III: 9a + 3b + c = - 1,5

 

4. Schritt: Lösung des Gleichungssystems

IV= I - III:      7a + b = 1,5

V = IV - II:           3a = 1,5

aus V:                  a = 0,5              | die Rechnung wurde wegen der Einfachheit weggelassen

a in II:                  b = - 2

a,b in I:                c = 0 

 

5. Schritt: Resultat

      f(x) = 0,5 x^2 - 2x