/ Rotationskörper

Ein Rotationskörper ist ein Körper, welcher entsteht, wenn eine Kurve f(x) um eine Achse gedreht wird.

Als Beispiele zählen Kugeln, Kegel, Zylinder usw. aber auch jede andere Kurve kann man um die x-Achse rotieren lassen.

https://www.geogebra.org/m/Buz3SdxF

 

Merke:

Um nun das Volumen eines Rotationskörpers zu berechnen verwenden wir folgende Formel:

V = π *  ∫ (f(x))^2 dx           | das Integral ist hierbei ein bestimmtes mit den Grenzen a,b

 

Bsp.:

f(x) = x^2 + 1 

Intervall [ -1 ; 2 ]

Das Antragen der Integrationsgrenzen a,b bei ∫ und [] werden vernachlässigt

 

V = π *  ∫ (f(x))^2 dx

V = π *  ∫ (x^2 + 1)^2 dx     

V = π *  ∫ x^4 + 2x^2 + 1 dx

V = π * [1/5 x^5 + 2/3 x^3 + x]

V = ...

V = 78/5 π

 

Somit lässt sich folgendes schlussfolgern:
- f sei eine über dem Intervall [a ; b] differenzierbare und nicht negative Funktion

- rotiert Graph von f über dem Intervall [a ; b] um die x-Achse, entsteht ein Rotationskörper mit

V = π *  ∫ (f(x))^2 dx   (bestimmtes Integral)

- Achtung: Quadriere vor dem Integrieren