Stochastische Unabhängigkeit

- Stochastische Unabhängigkeit; weitere Beispiel; Vierfeldertafel

/ Stochastische Unabhängigkeit

Die Stochastische Unabhängigkeit wird verwendet um zu überprüfen ob die zwei Ereignisse A und B sich gegenseitig beeinflussen. Also ob sich das Eintreten/ nicht Eintreten von dem einem Ereignis aus das Eintreten des anderen auswirkt oder nicht.

 

Es gilt:

Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des ersten Ereignisses, das Eintreten des Zweiten nicht.

Dies kann man zahlenmäßig auf zwei Arten erkennen:

1.) P(A) = PB(A)  bzw.  P(B) = PA(B)

2.) P(AnB) = P(A) * P(B)

 

Beispiel:

Ist das Ziehen einer schwarzen Karte unabhängig vom Ziehen einer roten Karte - mit und ohne Zurücklegen (wenn 5 rote und 5 schwarze Karten im Spiel sind)?

Mit Zurücklegen

Um nun die Unabhängigkeit zu erkennen wenden wir die oben genannten Formel an:
1.) P(R) = P¯R¯(S)                     | hier gelb unterlegt

       0,5 = 0,5

 

Diese Rechnung würde schon ausreichen, aber wir führen auch noch die Zweite durch:

2. P(RnS) = P(R) * P(¯R¯)         | hier blau umrandet

        0,25 = 0,5 * 0,5

        0,25 = 0,25

 

Erklärung:

Somit lässt sich feststellen, dass die Ereignisse stochastisch unabhängig sind. Dies ist auch logisch, weil durch das Zurücklegen es keine Rolle spielt, welche Kartenfarbe man im ersten Zug gezogen hat.

 

Ohne Zurücklegen

Auch hier wenden wir die oben genannten Formel an:

1.  P(R) = P¯R¯(S)                     | hier gelb unterlegt

    5/10 ≠ 4/9

 

Diese Rechnung würde schon ausreichen um zu zeigen, aber wir führen auch noch die Zweite durch:

2. P(RnS) = P(R) * P(¯R¯)         | hier blau umrandet

        5/18 = 5/10 * 5/10

        5/18 ≠ 1/4

 

 

Erklärung:

Beim Ziehen ohne das Zurücklegen wird die Anzahl der Elemente verändert. Das heißt, dass sich das Ziehen einer bestimmten Kartenfarbe auf die Wahrscheinlichkeit des 2. Zuges auswirkt. Somit sind die Ereignisse stochastisch abhängig.


/ Weitere Beispiele

 

Baumdiagramm: Blond und kurzsichtig? (Blond = B; Kurzsichtig = K)

 

Frage: Ist das Ereignis blond stochastisch unabhängig vom Ereignis kurzsichtig?

 

Lösung: Für die Überprüfung der Unabhängigkeit müsste nach 1.) gelten: P(K) = PB(K)

Aus dem Baumdiagramm entnimmt man:

            P(K) = P(BnK) + P(¯B¯nK)

            P(K) = 0,03 + 0,27

            P(K) = 0,3

           PB(K) = 0,3

            P(K) = PB(K)

Antwort: Die betrachteten Ereignisse sind stochastisch unabhängig voneinander.

Diese Aufgabe kann alternativ auch mit der 2. Gleichung gelöst werden:

P(BnK) = P(B) * P(K)

    0,03 = 0,1 * x          | x = 0,3    -> 0,03 + 0,27 = 0,3

    0,03 = 0,03             -> stochastisch unabhängig

/ Unabhängigkeit mit der Vierfeldertafel

Was tun wir aber, wenn wir kein Baumdiagramm sondern nur eine ausgefüllte Vierfeldertafel gegeben haben? Genau das wird euch nun in 3 Schritten erklärt:

Schritt 1

Zuerst rufen wir uns in Erinnerung wie eine Vierfeldertafel aufgebaut ist (Bild). Ihr könnt auch hier nochmal nachlesen.

Schritt 2

In diesem Fall (Ergebnisse einer Untersuchung von 1000 Paaren) haben wir die Schnittwahrscheinlichkeiten schon gegeben, aber die Totalen fehlen.

Schritt 3

Durch unser Vorwissen könnten wir die fehlenden Informationen ergänzen und uns nun an das Rechnen machen. (Das immer durch 1000 (Anzahl der Untersuchten) steht liegt daran, dass wir nach den Regeln auf 1 kommen müssen)


Aufgabe: Untersuche A und B auf Unabhängigkeit

 

Lösung: Durch unsere Vorarbeit (Schritt 3) können wir nun gleich mit dem Rechnen beginnen

    P(B) = PA(B)                    | nach unserm Wissen ist PA(B) = P(AnB) + P(¯A¯nB)

  PA(B) = P(AnB) + P(¯A¯nB)

  PA(B) = 471/1000 + 151/1000

PA(B) = 622/1000

  P(B) = 622/1000        | aus dem Baumdiagramm ablesbar 

 

Antwort: Die Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig voneinander, da P(B) = PA(B) gilt.