- Zufallsgröße; Wahrscheinlichkeitsverteilung; Erwartungswert

/ Zufallsgröße 'X'

Anhand der folgenden Aufgabe wird dir die Zufallsgröße X erklärt.

Beispiel: 

Ein Spieler wirft gleichzeitig 2 Würfel (1-6). Bei 2 Sechsen gewinnt er 10€. Fällt gar keine Sechs, bekommt er nicht und wenn genau eine Sechs fällt gewinnt er 5€.

Zeichnen sie das Baumdiagramm und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse!

Fassen Sie gleiche Ergebnisse zu Ereignissen zusammen und berechnen sie deren Wahrscheinlichkeit. Geben Sie auch die Zufallsgröße X mit an.

 

Lösung:

 

Klärung des Begriffes Zufallsgröße:

In Aufgaben, bei denen ein Gewinn (bzw. auch Verlust) in € auftritt, wird diese Große als Zufallsgröße X benannt.

Alle Werte, die X annehmen kann (in dem Bsp.: 10€; 5€; 0€) werden mit xi bezeichnet.

/ Wahrscheinlichkeitsverteilung von X

Merke:

Die Zuordnung von der Wahrscheinlichkeit der Zufallsgröße X zu dem passenden xi Wert, nennt sich Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.

Diese kann tabellarisch und/ oder graphisch erfolgen.

 

Wir haben das an dem obigen Beispiel vorgenommen:

Wahrscheinlichkeitsverteilung von X

Graphische Darstellung

Hinweis:
Die einzelnen angetragenen Koordinaten verbindet man hier nie


/ Erwartungswert einer Zufallsgröße

Merke:

Der Erwartungswert einer Zufallsgröße E(X) gibt uns Auskunft über den zu erwartenden Wert einer Zufallsgröße bei genügend Wiederholung von dem Experiment.

E(X) wird mit folgender Formel berechnet:

 

ausgeschrieben bedeutet dies:

In Worten: Der Erwartungswert ist die Summe der Produkte, der angenommenen Werte der Zufallsgröße xi und ihren Wahrscheinlichkeiten P(X = xi)

 

Beispiel: Glücksrad

Ein Spieler dreht an dem dargestellten Glücksrad. Für jedes Spiel muss er 5€ zahlen. Wird die 1 gedreht, gewinnt man 20€. Wird die 2 gedreht, gewinnt man 3€.

 

Aufgabe:

Wie ist der zu erwartende Gewinn, wenn man oft genug gespielt hat?

Lösung:

Zuerst macht man eine Vorüberlegung:

-> Die Werte die X annehmen kann sind -2 und 15.          | man muss die 5€ subtrahieren!!!

-> Wahrscheinlichkeitsverteilung von X:

Erklärung:

n = 2 weil 2 xi-Werte vorhanden sind.

 

 

 

Jeweils die passenden Werte aus der Tabelle entnehmen und rechnen.

Antwort: Bei genügend Wiederholung des Spiels, kann man mit einem Gewinn (für Spieler) von 2,25€ ausgehen.

 

Handelt es sich um ein faires Spiel?

Merke:
Ist E(X) = 0, so nennt man das Spiel fair.

Ist E(X) < 0, so nennt man das Spiel günstig für den Betreiber (dieser macht Gewinn und Spieler Verlust).

Ist E(X) > 0, so nennt man das Spiel günstig für den Spieler.

 

Dieses Spiel ist also günstig für den Spieler.